实凯勒子流形的第二基本形式

设 $f\colon M^{2n}\to\R^{2n+p}$, $2\leq p\leq n-1$, 为凯勒流形到欧氏空间的等距浸入。Yan 与 Zheng 在 \cite{YZ} 中猜想：若余维数为 $p\leq 11$, 则在 $M^{2n}$ 的稠密开子集的任一连通分支上, 该子流形满足如下情形之一：要么被维数至少为 $2n-2p$ 的全纯子流形所叶状化, 其切空间位于第二基本形式的核中, 且像为仿射向量子空间的开子集; 要么全纯地嵌入到 $\R^{2n+p}$ 中维数大于 $2n$ 的凯勒子流形内。这一大胆猜想仅由 Dajczer 与 Gromoll 在余维数为三时以及 Yan 与 Zheng 在余维数为四时证明。本文证明了若该猜想成立, 则子流形的第二基本形式在点态上如预期那样表现。该结果是可能对欧氏空间中低余维非全纯凯勒子流形进行分类的第一步基础性工作。一个反例表明我们的证明对更高余维不再适用, 这说明猜想中取 $p=11$ 作为最大余维数是恰当的。