图的 Randić 指数与直径

图 $G$ 的 {\it Randić 指数} $R(G)$ 定义为对 $G$ 的所有边 $uv$ 求和 $1/\sqrt{d_ud_v}$，其中 $d_u$ 和 $d_v$ 分别是顶点 $u$ 和 $v$ 的度。令 $D(G)$ 为连通图 $G$ 的直径。Aouchiche-Hansen-Zheng 猜想，在所有具有 $n$ 个顶点的连通图 $G$ 中，路 $P_n$ 使得 $R(G)/D(G)$ 和 $R(G)- D(G)$ 均取得最小值。我们完全证明了该猜想。事实上，我们证明了一个更强的定理：若 $G$ 是连通图，则 $R(G)-(1/2)D(G)\geq \sqrt{2}-1$，当且仅当 $G$ 是至少具有三个顶点的路时等号成立。