关于图的偏心连通指数的一个下界

图 $G$ 的偏心连通指数记为 $\xi^{c}(G)$,定义为 $\xi^{c}(G)$ = $\sum_{v \in V(G)}\epsilon(v) \cdot d(v)$,其中 $\epsilon(v)$ 和 $d(v)$ 分别表示图 $G$ 中顶点 $v$ 的偏心距与度。火山图 $V_{n,d}$ 是由一条路径 $P_{d+1}$ 和一个含 $n-d-1$ 个顶点的集合 $S$ 通过将 $S$ 中每个顶点连接到 $P_{d+1}$ 的中心顶点或中心顶点集而得到的图。在 (A lower bound on the eccentric connectivity index of a graph, Discrete Applied Math., 160, 248 to 258, (2012)) 中,Morgan 等人证明了对于任意阶为 $n$、直径为 $d \geq 3$ 的图有 $\xi^{c}(G) \geq \xi^{c}(V_{n,d})$。本文中,我们通过考虑图中顶点的邻接性,给出该结果的一个简短而简单的证明。