关于最小度和最大度的Randić指数变体

图 $G$ 的 Randić 指数变体 $R'(G)$ 定义为 $R(G) = \sum_{uv \in E(G)}\frac 1{\max \{d(u) d(v)\}}$，其中 $d(u)$ 为顶点 $u$ 的度，求和遍及 $G$ 的所有边 $uv$。令 $G(k,n)$ 为最小顶点度为 $k$ 的连通简单 $n$ 顶点图集合。本文在 $G(k,n)$ 中找到了使 Randić 指数变体取最小值的图。当 $k \leq \frac n2$ 时，极值图是完全分裂图 $K_{k,n-k}^*$，其仅有两类度顶点，即度 $k$ 与度 $n-1$，且度为 $k$ 的顶点数为 $n-k$，度为 $n-1$ 的顶点数为 $k$。当 $k \geq \frac n2$ 时，极值图同样具有度 $k$ 和 $n-1$ 的两类顶点，且度为 $k$ 的顶点数为 $\frac n2$。此外，我们将结果推广到给定最大度的图。