关于 Randić 指数与代数连通度关系的一个注记

AutoGraphiX 关于连通图 $G$ 的 Randić 指数 $R$ 与代数连通度 $a$ 之间关系的一个猜想为：$$\frac R a\leq (\frac{n-3+2\sqrt{2}}{2})/(2(1- \cos {\frac{\pi}{n}}))$$ 当且仅当 $G$ 为 $P_n$ 时等号成立，该猜想由 Aouchiche 和 Hansen 提出 [M. Aouchiche and P. Hansen, A survey of automated conjectures in spectral graph theory, {\it Linear Algebra Appl.} {\bf 432}(2010), 2293--2322]。我们证明了该猜想对所有树以及所有边连通度 $\kappa'(G)\geq 2$ 的连通图成立，且若 $\kappa'(G)=1$，该猜想对足够大的 $n$ 成立。该猜想对所有直径 $D\leq \frac {2(n-3+2\sqrt{2})}{\pi^2}$ 或最小度 $\delta\geq \frac n 2$ 的连通图也成立。我们还证明了 $R\cdot a\geq \frac {8\sqrt{n-1}}{nD^2}$ 与 $R\cdot a\geq \frac {n\delta(2\delta-n+2)} {2(n-1)}$，进而若 $D\leq (n-1)^{1/4}$ 或 $\delta\geq \frac n 2-1$，则 $R\cdot a$ 在路径图上取得最小值。