具有泊松势的非局部薛定谔算子的淬火渐近性

我们研究具有跳跃的对称 Lévy 过程在 $\mathbb{R}^d$ 上充分正则的泊松随机势 $V^{\omega}$ 下，直至时间 $t$ 的存活概率 $\mathbf{E}_x\big[e^{-\int_0^t V^{\omega}(X_s){\rm d}s}\big]$ 的淬火长时间行为。此类函数是涉及基于 $(X_t)_{t \geq 0}$ 的生成元带势 $V^{\omega}$ 的非局部薛定谔算子的抛物型方程的解的概率解。对一大类过程和势，我们确定了速率函数 $\eta(t)$ 和正常数 $C_1, C_2$，使得对任意固定的 $x \in \mathbb{R}^d$，关于 $\omega$ 几乎必然有 $$-C_1 \leq \liminf_{t \to \infty} \frac{\log \mathbf{E}_x\big[{\rm e}^{-\int_0^t V^{\omega}(X_s){\rm d}s}\big]}{\eta(t)} \leq \limsup_{t \to \infty} \frac{\log \mathbf{E}_x\big[{\rm e}^{-\int_0^t V^{\omega}(X_s){\rm d}s}\big]}{\eta(t)} \leq -C_2,$$ 函数 $\eta(t)$ 与界 $C_1, C_2$ 严重依赖于过程的大跳跃强度。特别地，若其在无穷远处的衰减“足够快”，则我们证明 $C_1=C_2$，即极限存在。这类中的代表性例子是具有 Lévy-Khintchine 指数 $\psi(\xi) = (|\xi|^2+m^{2/\alpha})^{\alpha/2}-m$, $\alpha \in (0,2)$, $m>0$ 的相对论稳定过程，对其有 \lim_{t \to \infty} \frac{\log \mathbf{E}_x\big[{\rm e}^{-\int_0^t V^{\omega}(X_s)ds}\big]}{t/(\log t)^{2/d}} = \frac{\alpha}{2} m^{1-\frac{2}{\alpha}} \, \left(\frac{\rho \omega_d}{d}\right)^{\frac{d}{2}} \, \lambda_1^{BM}(B(0,1)), \quad \mbox{for almost all $\omega$,} 其中 $\lambda_1^{BM}(B(0,1))$ 是单位球中布朗运动的主特征值，$\omega_d$ 是单位球的 Lebesgue 测度，$\rho>0$ 对应于 $V^{\omega}$。我们还识别了 $\eta(t)$ 增长性质中两个有趣的状态改变（'transitions'）。