由跳跃过程驱动的非线性薛定谔方程

本文的主要结果是具有无限活跃度Lévy噪声的非线性薛定谔方程解的存在性。更确切地说，令$A=\Delta$为拉普拉斯算子，其定义域为$D(A)=\{ u\in L ^2 (\mathbb{R} ^d): \Delta u \in L ^2 (\mathbb{R} ^d)\}$。令$Z\hookrightarrow L ^2(\mathbb{R} ^d)$为一个函数空间，$\eta$为$Z$上的泊松随机测度，令$g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$和$h:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$为某些满足后文指定条件的给定函数。令$\alpha\ge 1$且$\lambda\ge 0$。我们关注如下方程的解：$$i \, d u(t,x) - \Delta u(t,x)\,dt +\lambda |u(t,x)|^{\alpha-1} u(t,x) \, dt$$ $$= \int_Z u(t,x)\, g(z(x))\,\tilde \eta (dz,dt)+\int_Z u(t,x)\, h (z(x))\, \gamma (dz, dt),$$ $$u(0)= u_0.$$ 我们首先考虑Lévy过程为复合泊松过程的情况。借助这一结果我们可以处理一般情况，并证明上述方程存在解。