移动随机介质中重整化势的布朗运动退火渐近性

受具有移动泊松陷阱或催化剂的定向聚合物模型以及具有时间依赖势的随机抛物型 Anderson 模型研究的启发，我们研究了当 $t\to\infty$ 时 $$\mathbb{E}\otimes\mathbb{E}_0\exp\left\{\pm\theta\int^t_0\bar{V}(s,B_s)ds\right\}$$ 的渐近行为，其中 $\th>0$ 是常数，$\overline{V}$ 是如下形式的重整化泊松势 $$\overline{V}(s,x)=\int_{\mathbb{R}^d}\frac{1}{|y-x|^p}\left(\omega_s(dy)-dy\right),$$ 且 $\omega_s$ 是由独立布朗粒子组成的测度值过程，其初始位置构成 $\mathbb{R}^d$ 上以 Lebesgue 测度为强度的泊松随机测度。根据参数 $p$ 和维数 $d$ 获得了不同的缩放极限。对于负指数矩的对数，$\frac{d}{2}<p<d$ 的范围被划分为 5 个区域，其缩放阶数分别为 $t^{d/p}$、$t^{3/2}$、$t^{(4-d-2p)/2}$、$t\log t$ 和 $t$。对于正指数矩，根据参数 $p$ 和 $d$ 在三个区域中研究了其极限行为。在次临界区域 ($p<2$)，指数矩的双对数以 $t$ 的速率增长。在临界区域 ($p=2$)，根据 $\theta$ 与 Hardy 不等式中最佳常数的比较，其在两个部分表现出不同的行为。在超临界区域 $(p>2)$，对于所有 $t>0$，指数矩变为无穷大。