基于 Dyson 布朗运动的多体局域化转变与 Anderson 局域化转变的能级排斥指数 $\beta$

将随机矩阵的 Dyson 布朗运动方法推广到 Anderson 局域化（AL）模型 [Chalker, Lerner and Smith PRL 77, 554 (1996)] 和多体局域化（MBL）哈密顿量 [Serbyn and Moore arxiv:1508.07293]，以提取能级排斥指数 $\beta$，其中在 Wigner-Dyson 统计主导的扩展相中 $\beta=1$，在 Poisson 统计主导的局域相中 $\beta=0$，在临界点 $0<\beta_c<1$。其思想是将高斯无序变量 $h_i$ 提升为高斯平稳过程 $h_i(t)$，以便以某时间关联 $\tau$ 采样无序平稳分布。然后可通过 Langevin 和 Fokker-Planck 方程研究能级统计。对于具有随机场 $h_i$ 的 MBL 量子自旋哈密顿量，我们得到 $\beta =2q^{EA}_{n,n+1}(N)/q^{EA}_{n,n}(N)$ 用 Edwards-Anderson 矩阵 $q^{EA}_{nm}(N) \equiv \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N | < \phi_n | \sigma_i^z | \phi_m> |^2$ 表示，对于相同本征态 $m=n$ 和连续本征态 $m=n+1$。对于具有随机在位能 $h_i$ 的 Anderson 局域化紧束缚哈密顿量，我们发现 $\beta =2 Y_{n,n+1}(N)/(Y_{n,n}(N)-Y_{n,n+1}(N))$ 用密度关联矩阵 $Y_{nm}(N) \equiv \sum_{i=1}^N | < \phi_n | i> |^2 | <i | \phi_m> |^2$ 表示，对于连续本征态 $m=n+1$，而对角元 $m=n$ 对应于本征态 $| \phi_n>$ 的逆参与率 $Y_{nn}(N) \equiv \sum_{i=1}^N | < \phi_n | i> |^4$。