二维陡水波的四次可积性与长时间存在性

自 Dyachenko 与 Zakharov \cite{zd} 的工作已知，对于弱非线性二维无限深水深水波，不存在三波相互作用，且所有四波相互作用系数在非平凡共振流形上消失。本文从另一视角研究此部分可积性。我们直接在物理空间中构造一列能量泛函 $\mathfrak E_j(t)$，其在 Riemann 映射变量中显式，并涉及二维水波方程解的 $j$ 阶物质导数，使得 $\frac d{dt} \mathfrak E_j(t)$ 为五次或更高阶。我们证明，若某缩放不变范数及一个比初始数据缩放高出一个空间导数的范数大小不超过 $\varepsilon$，则二维水波方程解的寿命至少为 $O(\varepsilon^{-3})$ 阶，且解在此期间保持与初始数据同等的正则性。若仅数据的缩放不变范数大小为 $\varepsilon$，则解寿命至少为 $O(\varepsilon^{-5/2})$ 阶。我们的长时间存在性结果不对初始界面的斜率与初始速度的大小施加限制，它们允许界面具有任意大陡度、初始速度具有任意大幅度。