含点涡的二维水波的长期行为

本文研究含流体中点涡的二维无粘不可压缩无限深水深水波的运动。我们证明，若点涡充分接近自由边界，则Taylor符号条件$-\frac{\partial P}{\partial \boldmath{n}}\geq 0$可能失效，从而水波可能遭受Taylor不稳定性。在假设Taylor符号条件成立下，我们证明水波系统在Sobolev空间中局部适定。此外，我们证明若水波对称且初始时具有一对特定对称且向下运动的点涡，则自由界面长时间保持光滑，且对于大小为$\epsilon\ll 1$的初始数据，其寿命至少为$O(\epsilon^{-2})$。