具有 Morrey 空间梯度的函数嵌入 Lebesgue 空间的最优指数

我们研究如下一个显然未在文献中得到充分关注的自然问题:给定支集在单位球 $B_1\subset\mathbb{R}^n$ 中且梯度属于 Morrey 空间 $M^{p,\lambda}(B_1)$ 的函数 $u$,其中 $1<p<\lambda<n$,使得必有 $u\in L^{q}(B_1)$ 成立的指数 $q$ 的最大范围是什么?David R. Adams 于 1975 年证明该嵌入在 $q\leq\lambda p/(\lambda-p)$ 时成立,而 2011 年的一篇文章声称在更大范围 $q<np/(\lambda-p)$ 内嵌入成立。本文通过构造一个对 $q>\lambda p/(\lambda-p)$ 给出反例的函数来否定后一论断。该函数基本上是到 Hausdorff 维数为 $n-\lambda$ 的集合的距离的负幂次。当 $\lambda\notin\mathbb{Z}$ 时,该集合为分形。我们还对径向对称情形做了详细研究,此时指数 $q$ 可取到 $np/(\lambda-p)$。