二维两相椭圆方程解高梯度可积性的最优下指数

我们研究二维下方程 $\text{div}(\sigma \nabla u) = 0$ 的分布解 $u$ 的高梯度可积性，其中 $\sigma$ 的本质值域仅由两个椭圆矩阵组成，即在 $\Omega$ 中几乎处处有 $\sigma\in\{\sigma_1, \sigma_2\}$。在文献 [4] 中，对于每一对椭圆矩阵 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$，指数 $p_{\sigma_1,\sigma_2}\in(2,+\infty)$ 和 $q_{\sigma_1,\sigma_2}\in (1,2)$ 已被表征，使得若 $u\in W^{1,q_{\sigma_1,\sigma_2}}(\Omega)$ 是该椭圆方程的解，则 $\nabla u\in L^{p_{\sigma_1,\sigma_2}}_{\text{weak}}(\Omega)$，且上指数 $p_{\sigma_1,\sigma_2}$ 的最优性已被证明。在本文中，我们通过证明下指数 $q_{\sigma_1,\sigma_2}$ 的最优性来补充上述结果。具体而言，我们证明对于任意小的 $\delta$，都可以找到一种特定的微观几何，即集合 $\sigma^{-1}(\sigma_1)$ 和 $\sigma^{-1}(\sigma_2)$ 的一种排列，使得相应的椭圆方程存在一个解 $u$，满足 $\nabla u \in L^{q_{\sigma_1,\sigma_2}-\delta}$，但 $\nabla u \notin L^{q_{\sigma_1,\sigma_2}}$。此类最优微观几何的存在性是通过凸积分方法实现的，即将文献 [2] 中针对各向同性情形提供的几何构造调整适用于当前设定。