高秩字符串C群的数量

若$G$是次数为$n$的传递群且拥有一个秩$r\geq (n+3)/2$的字符串C群，则$G$必为对称群$S_n$。我们证明：若$n$足够大，则在同构与对偶意义下，$S_n$的秩$r$（其中$r\geq (n+3)/2$）字符串C群的数量与$S_{n+1}$的秩$r+1$字符串C群数量相同。该结果及其证明所用工具（特别是秩与次扩张）意味着：若已知$n$为奇数时$S_n$的秩$(n+3)/2$字符串C群，则可从中构造出任意正整数$k$对应的$S_{n+k}$的秩$(n+3)/2+k$所有字符串C群。因此，$S_n$的秩$r\geq (n+3)/2$字符串C群的分类被归结为分类$S_{2r-3}$的秩$r$字符串C群。该结果的一个推论是：当$n\geq 2\kappa+3$时，完整分类了$S_n$中秩$n-\kappa$（$\kappa\in\{1,\ldots,6\}$）的所有字符串C群，推广了先前已知结果。此分类中秩$n-\kappa$且$n\geq 2\kappa +3$的字符串C群数量给出如下以$\kappa$为索引、自$\kappa = 1$起的整数序列：$$(1,1,7,9,35,48)$$ 根据在线整数序列百科全书，该整数序列是新的，将作为序列号A359367收录。