高秩正则多胞形分类的扩展

在同构与对偶的意义下，对于秩大于 $n-3$ 的非退化抽象正则多胞形，恰好存在两个：一个秩为 $n-1$，另一个秩为 $n-2$，其自同构群为 $n\geq 7$ 次的传递置换群。在本文中，我们将高秩正则多胞形的这一分类扩展至包含秩 $n-3$ 和 $n-4$ 的情形。结果表明，在同构与对偶的意义下，对于每个 $n\geq 9$，存在七个秩为 $n-3$ 的抽象正则多胞形；对于每个 $n \geq 11$，存在九个秩为 $n-4$ 的抽象正则多胞形。此外，我们证明，若 $n \geq 11$ 次的传递置换群 $\Gamma$ 是秩至少为 $n-4$ 的抽象正则多胞形的自同构群，则 $\Gamma\cong S_n$。