自由群、曲面群与自由阿贝尔群的自同构群

具有整数元素且行列式为 $\pm 1$ 的 2×2 矩阵群可等同于秩为二的自由群的外自同构群，也可等同于二维环面的同胚的isotopy 类群。因此该群是三个自然群序列的起点，即一般线性群 ${\rm{GL}}(n,\Z)$、秩 $n\geq 2$ 的自由群的外自同构群，以及亏格 $g\geq 1$ 的闭可定向曲面的映射类群。关于映射类群与自由群自同构的许多工作是由这些群序列强类比的思想所推动的。在本文中，我们强调这些群系列之间一些最显著的相似与差异，并给出受此哲学启发的一组公开问题。