算术级数中共轭类大小集合的限制

我们继续在[3]和[4]中开始的关于其非平凡共轭类大小集合构成算术级数的有限群的研究。设 $G$ 为有限群,并将 $G$ 的共轭类大小集合记为 ${\rm cs}(G)$。满足 ${\rm cs}(G) = \{1,2,4,6\}$ 和 $\{1,2,4,6,8\}$ 的有限群已分别在[4]和[3]中分类,我们通过证明以下结论来说明这些例子相当特殊。存在有限群 $G$ 使得 ${\rm cs}(G) = \{1, 2^{\alpha}, 2^{\alpha+1}, 2^{\alpha}3 \}$ 当且仅当 $\alpha =1$。此外,存在有限群 $G$ 使得 ${\rm cs}(G) = \{1, 2^{\alpha}, 2^{\alpha +1}, 2^{\alpha}3, 2^{\alpha +2}\}$ 且 $\alpha$ 为奇数当且仅当 $\alpha=1$。