关于每个真正规子群均为给定个数共轭类之并的有限群

设 $G$ 为有限群，$A$ 为 $G$ 的正规子群。记 $ncc(A)$ 为 $A$ 的 $G$-共轭类个数，若 $ncc(A)=n$ 则称 $A$ 为 $n$-可分解的。令 ${\cal K}_G = \{ncc(A)| A \lhd G \}$。设 $X$ 为正整数的非空子集。若 ${\cal K}_G = X$，则称群 $G$ 为 $X$-可分解的。Ashrafi 及其合作者 \cite{ash1,ash2,ash3,ash4,ash5} 已刻画了当 $X = \{1, n \}$ 且 $n \leq 10$ 时的 $X$-可分解非完美有限群。在本文中，我们继续此问题并研究 $X = \{1, 2, 3 \}$ 时 $X$-可分解非完美有限群的结构。我们证明这样的群同构于 $Z_6, D_8, Q_8, S_4$、SmallGroup(20, 3)、SmallGroup(24, 3)，其中 SmallGroup$(m,n)$ 表示 GAP \cite{gap} 的小群库中阶为 $n$ 的第 $m$ 个群。