Sobol序列的非零增益系数恒为2的幂次

当基于 $n$ 个样本的普通蒙特卡洛估计方差为 $\sigma^2/n$ 时，加扰数字网可达到当 $n\to\infty$ 时方差为 $o(1/n)$。对于有限 $n$ 与对抗性选取的被积函数，加扰 $(t,m,s)$-网的最大增益系数 $\Gamma<\infty$ 可使方差至多为 $\Gamma\sigma^2/n$。最广泛使用的数字网与序列为Sobol'序列。先前已知对Sobol'点及Niederreiter-Xing点有 $\Gamma\leqslant 2^t3^s$。本文研究基为 $2$ 的网。我们证明对网有 $\Gamma \leqslant2^{t+s-1}$。该界是Niederreiter与Pirsic(2001)中微观结构分析的一个简单但显然未被注意的推论。我们得到了对此类某些数字网更尖锐且更小的界。我们还证明所有非零增益系数必为2的幂次。后一事实的一个推论是计算基为 $2$ 的网的增益系数的简化算法。