置乱 Halton 点的增益系数

随机化拟蒙特卡洛通过对数字网的特定置乱，可对 $\int_{[0,1]^d}f(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}\boldsymbol{x}$ 产生无偏估计，且对任何 $f\in L^2[0,1]^d$ 其方差为 $o(1/n)$。它也满足一些非渐近界，其中方差不超过某个 $\Gamma<\infty$ 乘以普通蒙特卡洛方差。对于置乱 Sobol' 点，该量 $\Gamma$ 随 $d$ 指数增长。对于置乱 Faure 点，$\Gamma \leqslant \exp(1)\doteq 2.718$ 在任意维数下成立，但这些点在较大 $d$ 时难以使用。本文证明，Halton 序列的某些置乱具有低于显式界的增益，该显式界为 $O(\log d)$ 但当 $d\to\infty$ 时对任意 $\epsilon>0$ 均非 $O( (\log d)^{1-\epsilon})$。对于 $6\leqslant d\leqslant 10^6$，增益系数的上界从不大于 $3/2+\log(d/2)$。