两个拉普拉斯变换之比的单调性法则及其应用

设 $f$ 和 $g$ 均为 $\left( 0,\infty \right)$ 上的连续函数，且对 $t\in \left( 0,\infty \right)$ 有 $g\left( t\right) >0$，并设 $F\left( x\right) =\mathcal{L}\left( f\right)$、$G\left( x\right) =\mathcal{L }\left( g\right)$ 分别为 $f$ 和 $g$ 在 $x>0$ 收敛的拉普拉斯变换。我们证明：若存在 $t^{\ast }\in \left( 0,\infty \right)$ 使得 $f/g$ 在 $\left( 0,t^{\ast }\right)$ 上严格递增且在 $\left( t^{\ast },\infty \right)$ 上严格递减，则比值 $F/G$ 在 $\left( 0,\infty \right)$ 上递减当且仅当 \begin{equation*} H_{F,G}\left( 0^{+}\right) =\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left( \frac{F^{\prime }\left( x\right) }{G^{\prime }\left( x\right) }G\left( x\right) -F\left( x\right) \right) \geq 0, \end{equation*} 其中 \begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{F\left( x\right) }{G\left( x\right) } =\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{f\left( t\right) }{g\left( t\right) }\text{ \ 且 \ }\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{F\left( x\right) }{G\left( x\right) }=\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\frac{f\left( t\right) }{g\left( t\right) } \end{equation*} 给出了所指极限（若存在）。而当 $H_{F,G}\left( 0^{+}\right) <0$ 时，至少存在一个 $x^{\ast }>0$ 使得 $F/G$ 在 $\left( 0,x^{\ast }\right)$ 上递增且在 $\left( x^{\ast },\infty \right)$ 上递减。作为该单调性法则的应用，我们给出了 psi 函数某些界的一致处理，并建立了第二类修正贝塞尔函数的一些性质。这些表明本文的单调性法则可有助于某些特殊函数的研究，因为许多特殊函数可表示为相应的拉普拉斯变换。