涉及双伽玛函数的函数的单调性与凸性及其应用

设 $\mathcal{L}(x,a)$ 定义在 $\left( -1,\infty \right) \times \left( 4/15,\infty \right)$ 或 $\left( 0,\infty \right) \times \left( 1/15,\infty \right)$ 上，公式为% \begin{equation*} \mathcal{L}(x,a)=\tfrac{1}{90a^{2}+2}\ln \left( x^{2}+x+\tfrac{3a+1}{3}% \right) +\tfrac{45a^{2}}{90a^{2}+2}\ln \left( x^{2}+x+\allowbreak \tfrac{% 15a-1}{45a}\right) . \end{equation*} 我们研究了函数 $x\rightarrow F_{a}\left( x\right) =\psi \left( x+1\right) -\mathcal{L}(x,a)$ 的单调性与凸性，其中 $\psi$ 表示 Psi 函数。并且，我们确定了最佳参数 $a$，使得不等式 $\psi \left( x+1\right) <\left( >\right) \mathcal{L}$ 对 $x\in \left( -1,\infty \right)$ 或 $\left( 0,\infty \right)$ 成立，进而给出了 Psi 函数和调和数的一些新的且非常精确的尖锐界。作为应用，我们构造了一个由 $l_{n}\left( a\right) =H_{n}-\mathcal{L}\left( n,a\right)$ 定义的序列 $\left( l_{n}\left( a\right) \right)$，该序列给出了 $\gamma$ 的极精确值。