证明 L'Hospital 单调法则的一种新方法及其应用

设 $-\infty \leq a<b\leq \infty$。设 $f$ 和 $g$ 是 $(a,b)$ 上的可微函数，且在 $(a,b)$ 上 $g^{\prime }\neq 0$。通过引入辅助函数 $H_{f,g}:=\left( f^{\prime }/g^{\prime }\right) g-f$，我们轻松证明了单调性的 L'Hospital 法则。这提供了一种自然且简洁的方法，使得这些法则更易于理解。利用我们的 L'Hospital 分段单调法则（简称 LPMR），我们建立了关于双曲函数、三角函数以及二元均值的三个新的锐利不等式，补充了某些已知结果。