允许无三重交点模型的 K3 曲面的单值性

本论文旨在研究允许无三重交点模型的 $K3$ 曲面在何种条件下满足单值性。该性质是 Calabi-Yau 簇 $X$ 的退化几何与其上同调的单值作用之间的定量关系：若 motivic zeta 函数 $Z_{X,\omega}(T)$ 的极点诱导了 $X$ 上同调的单值特征值，则称 Calabi-Yau 簇 $X$ 满足单值性。本文聚焦于允许无三重交点模型的 $K3$ 曲面，即允许严格正规交叉模型且特殊纤维的三个不可约分支永不同时相交的 $K3$ 曲面。Crauder 与 Morrison 将这些模型分为两大类：所谓花盆退化与链式退化。该分类非常精确，使得我们可以结合几何与组合技巧来实际检验单值性。第一个主要结果是，对允许无三重交点模型的 $K3$ 曲面 $X$ 及其上的体积形式 $\omega$，显式计算了 $Z_{X,\omega}(T)$ 的极点。我们证明 motivic zeta 函数可以有多个极点，这与先前结果形成对比：迄今为止，所有已知满足单值性的 Calabi-Yau 簇均只有唯一极点。我们证明了允许花盆退化的 $K3$ 曲面满足单值性，并证明了具有某种链式退化的 $K3$ 曲面也满足单值性。我们尚不清楚是否所有具有链式退化的 $K3$ 曲面都满足单值性，并探讨了不满足单值性的 $K3$ 曲面 $X$ 应具有何种特征。