$\mathcal{D}$-几何 Hilbert 方案——第一部分：对合性与稳定性

通过在代数几何背景下引入 Grothendieck 意义上的 $\mathcal{D}$-Hilbert 和 $\mathcal{D}$-Quct 函子并确立其可表性，我们构造了由偏微分方程 (PDEs) 系统产生的形式可积且对合的理想层的模空间。该构造的核心是 Spencer（半）稳定性的概念，它将经典稳定性条件从规范理论和复几何中进行了推广，并为我们的模问题提供了所需的有界性。作为应用，我们证明对于紧 K"ahler 流形上的平坦联络，相关联 PDE 理想的 Spencer 多重稳定性等价于 Hermitian-Yang-Mills 度量的存在性。该结果提供了对经典 Donaldson-Uhlenbeck-Yau 对应的细化，并将 Spencer 上同调与稳定性确立为几何 PDEs 的统一框架。