Kuratowski 次要图的 $\mathbb{Z}_2$-亏格

图在曲面上的绘图称为独立偶的，如果绘图中每一对不相邻边交叉偶数次。图 $G$ 的 $\mathbb{Z}_2$-亏格是最小的 $g$，使得 $G$ 在亏格为 $g$ 的可定向曲面上有一独立偶绘图。Robertson 和 Seymour 的一项未发表结果意味着：对每个 $t$，每个足够大亏格的图都包含射影 $t\times t$ 网格或下列所谓的 $t$-Kuratowski 图之一作为次要图：$K_{3,t}$，或共享至多两个公共顶点的 $t$ 个 $K_5$ 或 $K_{3,3}$ 的拷贝。我们证明这些族中图的 $\mathbb{Z}_2$-亏格在 $t$ 中无界；事实上，等于它们的亏格。 together，这意味着图的亏格可由其 $\mathbb{Z}_2$-亏格的函数从上方界定，解决了 Schaefer 和 \v{S}tefankovi\v{c} 提出的一个问题，并给出了可定向曲面上 Hanani-Tutte 定理的近似版本。我们还获得了关于图的欧拉亏格与欧拉 $\mathbb{Z}_2$-亏格的类似结果。