风扇图的平面图

我们证明，每个 $n$ 顶点的平面图都包含在由风扇图的每个顶点被秩为 $O(\sqrt{n}\log^2 n)$ 的完全图所构成的图中。等价地，每个 $n$ 顶点的平面图 $G$ 都有一个由 $O(\sqrt{n}\log^2 n)$ 个顶点组成的集合 $X$，使得 $G-X$ 的带宽为 $O(\sqrt{n}\log^2 n)$。我们实际上对任何严格的次紧致类证明相同的结果，并证明更一般的结果，探索 $X$ 与 $G-X$ 带宽之间的权衡。证明使用了三个关键要素。第一个是新的局部稀疏引理，表明每个 $n$ 顶点的平面图 $G$ 都有一个由 $O((n\log n)/\delta)$ 个顶点组成的集合，其移除后导致局部密度不超过 $\delta$ 的图。第二个是 Feige 和 Rao 方法的一个推广，该方法利用体积保持的欧几里得嵌入将带宽和局部密度联系起来。第三个要素是图积，对于次紧致类的推广是关键工具。