A 型中抛物伴随作用的零纤维的典范分支

本工作是 [Fittouhi and Joseph, Parabolic adjoint action, Weierstrass Sections and components of the nilfibre in type $A$] 的延续。设 $P$ 为不可约单代数群 $G$ 的抛物子群，$P'$ 为其导群，$\mathfrak m$ 为其李代数的幂零根。Richardson 的一个定理表明，子代数 $\mathbb C[\mathfrak m]^{P'}$（由 $\mathbb C[\mathfrak m]$ 中 $P$ 半不变量张成）是多项式的。$\mathfrak m$ 的线性子簇 $e+V$ 称为 $P'$ 在 $\mathfrak m$ 上作用的魏尔斯特拉斯截面，若限制映射诱导 $\mathbb C[\mathfrak m]^{P'}$ 到 $\mathbb C[e+V]$ 的同构。因此魏尔斯特拉斯截面仅当后者为多项式时才可能存在，但即便如此其存在也远非确定。$\mathfrak m$ 中魏尔斯特拉斯截面 $e+V$ 的存在性已通过一般组合构造确立。值得注意的是 $e \in \mathscr N$ 且是具线性无关根的根向量的和。魏尔斯特拉斯截面 $e+V$ 对不同抛物子群的选择看起来非常不同，但仍有统一构造并在所有情形中存在。它被称为“典范魏尔斯特拉斯截面”。[Fittouhi and Joseph, loc. cit.] 中曾宣布可将 $e$ 增补为元素 $e_{VS}$，通过添加根向量。则这些根向量的线性张成 $E_{VS}$ 位于 $\mathscr N^e$ 中且其闭包恰为 $\mathscr N^e$。然而该结果表明 $\mathscr N^e$ 未必容许稠密 $P$ 轨道。但该定理仅在为获得表明 $\mathscr N^e$ 可能不存在稠密 $P$ 轨道的例子所需的特殊情形中被验证。此处给出一般证明。最后定义了从组合到不同非负整数集的映射。其像被证明决定了典范魏尔斯特拉斯截面。