指数一双抛物线的切片

设 $\mathfrak a$ 是单李代数 $\mathfrak g$ 的一个代数李子代数，且指数 $\mathfrak a \leq \rank \mathfrak g$。令 $Y(\mathfrak a)$ 表示 $\mathfrak a^*$ 上 $\mathfrak a$ 不变多项式函数的代数。$\mathfrak a$ 的一个代数切片是一个仿射子空间 $\eta+V$，其中 $\eta \in \mathfrak a^*$，$V \subset \mathfrak a^*$ 是维数为指数 $\mathfrak a$ 的子空间，使得函数限制诱导出 $Y(\mathfrak a)$ 到 $\eta+V$ 上正则函数代数 $R[\eta+V]$ 的一个同构。通过构造适配对 $(h,\eta)$（其中 $h \in\mathfrak a$ 是 ad-半单的，$\eta$ 是 $\mathfrak a^*$ 的正则元且是 $h$ 的特征值为负一的特征向量，$V$ 是 $\mathfrak a^*$ 中 $(\ad \mathfrak a)\eta$ 的一个 $h$ 稳定补空间），已在许多情形下得到了切片。经典情形是 $\mathfrak g$ 半单。然而，近来已提供了许多其他情形。例如，若 $\mathfrak g$ 为 $A$ 型且 $\mathfrak a$ 是“截断双抛物线”或中心化子。在某些情形下（特别是当双抛物线是 Borel 子代数时），发现 $\eta$ 可取为 $\mathfrak g$ 中正则幂零元的限制。此外，这一计算提示了如何在不存在适配对的 $A$ 型之外构造切片。本文是将这些想法进一步推进的第一步。具体地，设 $\mathfrak a$ 是指数一的截断双抛物线（此时 $\mathfrak g$ 为 $A$ 型）。在此情形下，证明了 $\mathfrak a$ 的适配对 $(h,\eta)$ 的第二个成员是 $\mathfrak g$ 中一个特别精心选取的正则幂零元的限制。