适配对的整性

设 $\mathfrak a$ 为一个代数李代数。$\mathfrak a$ 的适配对是指由 $\mathfrak a$ 中的一个 ad-半单元素 $h$ 和 $\mathfrak a^*$ 中的一个正则元素 $\eta$ 组成的对 $(h,\eta)$，满足 $(ad \ h)\eta=-\eta$。若 $ad \ h$ 在 $\mathfrak a$ 上具有整数特征值，则称适配对 $(h,\eta)$ 满足整性。已证明对于作为半单李代数的双抛物子代数的任何 Frobenius 李代数，整性均成立；但在一般情况下可能不成立。若 $\mathfrak a^*$ 上不存在真半不变多项式函数，且不变函数子代数是多项式的，则称 $\mathfrak a$ 为正则的。在这种情况下，目前尚无整性的反例。已证明，如果 $\mathfrak a$ 是简单李代数 $\mathfrak g$ 的双抛物子代数的典范截断，且 $\mathfrak a$ 是正则的并容许一个适配对 $(h,\eta)$，那么 $ad \ h$ 在 $\mathfrak a$ 上的特征值属于 $\frac{1}{m}\mathbb Z$，其中 $m$ 是 $\mathfrak g$ 的最高根中简单根的系数。设 $\mathfrak a$ 是一个容许适配对 $(h,\eta)$ 的正则李代数。令 $\mathfrak a_\mathbb Z$ 为由 $ad \ h$ 具有整数特征值的特征子空间所张成的子代数。已证明 $\mathfrak a_\mathbb Z$ 的典范截断是正则的。若能充分掌握 $\mathfrak a^*$ 与 $\mathfrak a^*_\mathbb Z$ 上不变多项式函数的生成元之间的关系，则可进而确立 $(h,\eta)$ 的整性。利用此方法，证明了 $C$ 型简单李代数的截断抛物子代数的适配对的整性。