球几何在超凯勒切片中的应用

本文研究 Bielawski 在齐次仿射簇的余切丛中的超凯勒（hyperkähler）切片。可将此类切片关联到如下数据：复半单李群 $G$、约化子群 $H\subseteq G$、以及 Slodowy 切片 $S\subseteq\mathfrak{g}:=\mathrm{Lie}(G)$，并将其定义为 $T^*(G/H)\times (G\times S)$ 关于 $G$ 的极大紧子群的超凯勒商。该超凯勒切片在一些最基本情形中为空（例如当 $S$ 为正则切片且 $(G,H)=(\operatorname{SL}_{n+1},\operatorname{GL}_{n})$，$n\geq 3$ 时），这促使我们寻求其非空的充要条件。我们对当 $S=S_{\text{reg}}$ 为正则 Slodowy 切片时出现的非空超凯勒切片给出球几何刻画，证明非空等价于所谓的 $(G,H)$ 的 $\mathfrak{a}$-正则性。该 $\mathfrak{a}$-正则性条件以若干等价方式表述，其中之一是关于 $G/H$ 的秩与复杂度的具体条件。我们还对 $H$ 为约化球子群的 $\mathfrak{a}$-正则对 $(G,H)$ 进行了分类。我们的论证本质地使用了 Knop 关于矩映射像的结果以及 Losev 计算 Cartan 空间的算法。