A 型中的抛物伴随作用、Weierstrass 截面与零纤维的不可约分支

本工作是 [Y. Fittouhi 与 A. Joseph, Weierstrass Sections for Parabolic adjoint action in type $A$] 的延续。设 $G$ 为不可约单代数群,$B$ 为 $G$ 的 Borel 子群。设 $\mathfrak n$ 为 $B$ 的幂零根之李代数。考虑 $G$ 中包含 $B$ 的不可约子群 $P$。设 $P'$ 为 $P$ 的导群。设 $\mathfrak m$ 为 $P$ 的幂零根之李代数。Richardson 的一个定理断言,$P$ 半不变量代数 $\mathbb C[\mathfrak m]^{P'}$ 是无重数的。若线性子簇 $e+V$ 使得限制映射诱导出 $\mathbb C[\mathfrak m]^{P'}$ 到 $\mathbb C[e+V]$ 的同构,则称其为 $P'$ 在 $\mathfrak m$ 上作用的 Weierstrass 截面。本文在 A 型中构造了这样一个截面,但比前述文献第 4 节所给形式更佳。然而主要区别在于侧重点的彻底转变:从 Weierstrass 截面的构造转向其应用。设 $\mathscr N$ 为相对于此作用的零纤维。由 Weierstrass 截面 $e+V$ 的构造可知 $e \in \mathscr N$。于是 $P.e$ 包含在 $\mathscr N$ 的唯一不可约分支 $\mathscr C$ 中。利用 $e+V$ 的结构,将 $\mathscr C$ 相当明确地描述为 $B$ 饱和集,即形如 $\overline{B.\mathfrak u}$,其中 $\mathfrak u$ 为 $\mathfrak n$ 的子代数。该代数未必在 $\mathfrak n$ 中有补子代数,故 $\overline{B.\mathfrak u}$ 未必是轨道簇闭包(因而不一定是 Lagrangian 的),但也可以是。通过纯理论分析表明 $\mathscr C$ 未必包含稠密 $P$ 轨道,这在 $A_{10}$ 的适当抛物子群中发生,且可能是最简单的例子。在此特例中 $\mathscr C$ 不是轨道簇闭包。