Borel 子群及其幂零根的余伴随结构

设 $G$ 为复单连通半单 Lie 群，令 $\frak{g}= \mathrm{Lie}\, G$。设 $\frak{g} = \frak{n}_- +\frak{h} + \frak{n}$ 为 $\frak{g}$ 的三角分解。易知 $\mathrm{Cent}\,U({\frak n})$ 同构于对称不变量环 $S({\frak n})^{{\frak\n}}$。利用强正交根的级联 $\cal B$，我们曾在不久前证明 $S({\frak n})^{{\frak n}}$ 是一个多项式环 $\Bbb C [\xi_1,...,\xi_m]$，其中 $m$ 是 $\cal B$ 的基数。利用这一结果，我们确立了 $N = \exp \frak {n}$ 的最大余伴随轨道的余维数为 $m$。令 $\frak {b}= \frak {h} + \frak {n}$，使得对应的子群 $B$ 为 $G$ 的一个 Borel 子群。设 $\ell = \mathrm{rank}\, \frak{g}$。本文证明了如下定理：$B$ 的最大余伴随轨道的余维数为 $\ell - m$，从而以下陈述 (1) 和 (2) 等价：(1) $-1$ 属于 $G$ 的 Weyl 群（即 $\ell = m$）；(2) $B$ 具有非空的开余伴随轨道。我们指出，幂零群或半单群不可能具有非空的开余伴随轨道。可解 Lie 群具有非空余伴随轨道的著名例子归功于 Piatetski--Shapiro，这是他在构造一个有界复齐性域但不是 Cartan 型的反例时提出的。