Borel子群及其幂零根的余伴随结构

设$G$为复单连通半单李群，设$\frak{g}= Lie G$。设$\frak{g} = \frak{n}_- +\frak{h} + \frak{n}$为$\frak{g}$的三角分解。易知$Cent\,U({\frak n})$同构于对称不变量环$S({\frak n})^{{\frak\n}}$。利用强正交根的级联${\cal B}$，我们之前证明了$S({\frak n})^{{\frak n}}$是多项式环$\Bbb C [\xi_1,...,\xi_m]$，其中$m$是${\cal B}$的基数。利用这个结果，我们建立了$N = exp \frak {n}$的最大余伴随轨道有余维数$m$。设$\frak {b}= \frak {h} + \frak {n}$，则相应子群$B$是$G$的Borel子群。设$\ell = rank \frak{g}$。本文证明定理：$B$的最大余伴随轨道有余维数$\ell - m$，因此以下陈述(1)和(2)等价：(1) $-1$属于$G$的Weyl群（即$\ell = m$），(2) $B$具有非空开余伴随轨道。我们指出，幂零群或半单群不能有非空开余伴随轨道。可解李群具有非空开余伴随轨道的著名例子来自Piatetski-Shapiro在他构造非Cartan型有界复齐性域的反例中的工作。