着色网络的李代数结构

在计算着色网络向量场的范式时，遵循[19]中的半群（oid）方法，人们希望能够对线性着色网络向量场的李代数结构有所说明。与[10]中纯抽象的方法不同，我们在此描述一个给出Levi分解的具体算法。如果我们将该算法应用于给定子代数，它确实将子代数中的元素置于Levi分解给出的分块形式中，但这不必是给定子代数的Levi分解。我们证明，对于具有C种颜色（描述网络中不同类型细胞的不同的函数）的$N$维向量场，该李代数 $net_{C,N}$ 同构于半单部分与可解部分的半直和，半单部分由两个单分量 $\mathfrak{sl}_C$ 和 $\mathfrak{sl}_B$ 组成，其中 $B=N-C$，我们将其写为分块矩阵，可解部分由两个表示恒等 $C$ 在 $c\simeq glC$ 和 B 在 $b \simeq glB$ 中的元素以及一个阿贝尔代数 $a\simeq\mathfrak{Gr}(C,N)$（即Grassmannian，由 $\mathbb{R}^N$ 的 $C$ 维子空间组成）组成。本文中的方法可立即应用于研究着色网络的线性映射。