具有尖锐衰减速率的 Landis 猜想

所谓的 Landis 猜想断言：若方程 $$\Delta u+V(x)u=0$$ 在外域中的解以快于 $e^{-\kappa|x|}$ 的速率衰减，其中某个 $\kappa>\sqrt{\sup |V|}$，则该解必恒等于 $0$。此性质可视为满足适当指数衰减的解在无穷远处的唯一延拓（UCI）。Landis 猜想在复值函数情形被 Meshkov 证伪，但在实值情形仍属开放问题。在 2000 年代，若干论文探讨了具有实系数的线性椭圆算子的 UCI 问题。所得结果需要某种符号条件，要么在解上，要么在方程的零阶系数上。Landis 猜想在其一般形式下至今仍未解决。在本文中，我们首先考虑一维的一般（实）椭圆算子，导出了衰减速率 $\kappa$ 下的 UCI 性质，该速率在算子系数为常数时是尖锐的。特别地，我们证明了一维的 Landis 猜想，且实际上可达到阈值 $\kappa=\sqrt{\sup |V|}$。接着，我们导出了任意维径向算子的 UCI 性质——进而 Landis 猜想。最后，采用不同方法，我们证明了一般椭圆方程正上解的同一定理。