克莱因-戈登方程、希尔伯特变换与高斯型映射的动力学

一对 $(\Gamma,\Lambda)$，其中 $\Gamma\subset\mathbb{R}^2$ 为局部可求长曲线，$\Lambda\subset\mathbb{R}^2$ 为{\em 海森堡唯一对}（Heisenberg uniqueness pair），若支撑于 $\Gamma$ 上且其傅里叶变换在 $\Lambda$ 上消失的绝对连续（关于弧长）有限复值Borel测度必为零测度。最近，Hedenmalm和Montes证明：若 $\Gamma$ 为双曲线 $x_1x_2=M^2/(4\pi^2)$（其中 $M>0$ 为质量），且 $\Lambda$ 为格点十字 $(\alpha\mathbb{Z}\times\{0\}) \cup (\{0\}\times\beta\mathbb{Z})$（$\alpha,\beta$ 为正实数），则 $(\Gamma,\Lambda)$ 是海森堡唯一对当且仅当 $\alpha\beta M^2\le4\pi^2$。支撑于双曲线上的测度的傅里叶变换求解一维克莱因-戈登方程，因此该定理为该类方程解提供了非常薄的唯一性集合。半轴 $\mathbb{R}_+$ 的情形以及全纯对应情形此前未解决。本工作中，我们完全解决了这两个问题。对于半轴，我们基于高斯型映射的动力学证明，上述指数系统在 $\mathbb{R}_+$ 上的限制张成 $L^\infty(\mathbb{R}_+)$ 的弱星稠密子空间当且仅当 $0<\alpha\beta<4$。这具有动力唯一延拓的解释。对于全纯对应，我们证明具有 $m,n\ge0$ 的上述指数系统张成 $H^\infty_+(\mathbb{R})$ 的弱星稠密子空间当且仅当 $0<\alpha\beta\le1$。为获得此结果，我们需要发展与希尔伯特变换相关的高斯型映射动力学的新的调和分析工具。部分细节推迟至另一出版物。