通过自联结看 Kleinian 群的刚性：测度论判据

设 $n, m\ge 2$。令 $\Gamma<\text{SO}^\circ(n+1,1)$ 为 Zariski 稠密凸余紧子群，$\Lambda\subset\mathbb{S}^n$ 为其极限集。令 $\rho : \Gamma \to \text{SO}^\circ(m+1,1)$ 为 Zariski 稠密凸余紧忠实表示，$f:\Lambda\to \mathbb{S}^{m}$ 为 $\rho$-边界映射。令 $$\Lambda_f:= \bigcup \left\{ C \cap \Lambda : \begin{matrix} C \subset \mathbb{S}^n \text{ 为圆，使得} \\ f(C \cap \Lambda) \text{ 包含于 } \mathbb{S}^m \text{ 中的恰当球内} \end{matrix} \right\}.$$ 当 $\mathbb{S}^n$ 中至少存在一个 $\Lambda$-双稳定圆时（例如 $\Omega=\mathbb{S}^n-\Lambda$ 不连通），我们证明如下二分性：$$\text{要么}\quad \Lambda_f= \Lambda \quad \text{要么} \quad \mathcal{H}^{\delta}(\Lambda_f) =0,$$ 其中 $\mathcal{H}^\delta$ 为维数 $\delta=\dim_H \Lambda$ 的 Hausdorff 测度。此外，在前一种情形中，我们有 $n=m$ 且 $\rho$ 是 $\mathbb{S}^n$ 上由 M"obius 变换给出的共轭。我们的证明使用了方向对角流的遍历理论以及高阶半单李群离散子群的共轭测度理论，应用于自联结子群 $\Gamma_\rho=(\operatorname{id} \times \rho)(\Gamma) < \text{SO}^\circ(n+1,1)\times \text{SO}^\circ(m+1,1)$。我们也得到了对任意发散型子群的类似定理。