对称单纯复形的刚性与下界定理

我们证明,若对某个 $k\geq 2$,$\Gamma$ 是 $\mathbb{R}^{k+1}$ 中阶为 2 的点群,且 $\mathcal S$ 是一个具有阶为 2 的自由自同构的 $k$-伪流形,则要么 $\mathcal S$ 在 $\mathbb{R}^{k+1}$ 中有一个 $\Gamma$-对称无穷小刚性实现,要么 $k=2$ 且 $\Gamma$ 是一个半周转旋转群。这验证了 Klee、Nevo、Novik 和 Zhang 在 $\Gamma$ 为点反演群情形下的一个猜想。我们的结果意味着 Stanley 关于中心对称多面体的下界定理可推广到具有自由单纯对合的伪流形,从而验证了 Klee、Nevo、Novik 和 Zheng 的另一个猜想(不等式部分)。这两个结果实际上适用于更大一类单纯复形,即单纯拟阵的回路。我们的刚性结果的证明将 Fogelsanger 早期的想法推广到对称单纯复形的情形。