开普勒锥、麦克劳林对偶性与雅可比-莫佩尔蒂度量

开普勒问题是幂律问题在α = 1时的特例：求解一个中心力势为-μ/r^α（其中μ为耦合常数）的牛顿方程。与这样一个问题相关联的是一个二维锥面，其锥角为2πc，其中c = 1 - α/2。我们构造了一个变换，将该锥面的测地线映射为α幂律问题的零能量解。'开普勒锥'是与开普勒问题相关联的锥面。这个零能量锥面变换是麦克劳林在1740年代发现的一个变换的特例，该变换将任意能量的α幂律问题变换为一个'麦克劳林对偶'的γ幂律问题，其中γ = 2α/(2-α)，并且在此过程中，将一个问题的能量与另一个问题的耦合常数混合起来。我们利用力学的雅可比-莫佩特蒂度量重构来推导麦克劳林对偶性。然后，我们使用锥度量来解释正能量下幂律势的卢瑟福型散射的性质。本文可能的一个新结果涉及'星爆曲线'，这些曲线是负能量解族在角动量趋于零时的极限。我们将锥面上的测地线散射与势中粒子束解的卢瑟福型散射联系起来。我们描述了围绕麦克劳林对偶性的一些历史，并给出了经典力学雅可比-莫佩特蒂度量重构的两种推导。本文为说明性文章，面向高年级本科生。可类比于《美国数学月刊》的风格。