从牛顿第二定律严格推导不可压缩欧拉方程

数学物理中的一个长期问题是依据牛顿力学严格推导不可压缩欧拉方程。近来，Han-Kwan 与 Iacobelli（arXiv:2006.14924）证明，在单动能（monokinetic） regime 下，可通过超临界平均场极限，从 $\mathbb{T}^d$（$d\geq 2$）中 $N$ 个粒子经牛顿第二定律相互作用的系统直接得到欧拉方程。即，库仑型配对势前的耦合常数 $\lambda$ 对某个 $\theta \in (0,1)$ 按 $N^{-\theta}$ 缩放，不同于通常的平均场缩放 $\lambda\sim N^{-1}$。假设 $\theta\in (1-\frac{2}{d(d+1)},1)$，他们证明了系统的经验测度在 $N\rightarrow\infty$ 时由欧拉方程的解有效描述。Han-Kwan 与 Iacobelli 询问其 $\theta$ 范围是否最优。我们以否定回答此问题，证明了不可压缩欧拉方程在极限 $N\rightarrow\infty$ 下对 $\theta \in (1-\frac{2}{d},1)$ 成立。出于缩放原因，该范围在各维度上似为最优。我们的证明基于 Serfaty 的调制能量法，但相较于 Han-Kwan 与 Iacobelli 的证明，关键性地使用了改进的“重正化交换子”估计以获得更大的 $\theta$ 范围。