重访开普勒问题：一个古老问题的新对称性

开普勒轨道构成一个 3 参数族的非参数化平面曲线，即所有共享一个固定焦点于定点的圆锥曲线。我们研究该曲线族的几何与对称性质，以及自然的 2 参数子族，例如固定能量或角动量的子族。我们的主要结果是开普勒轨道是一个“平坦”族，即保持该族的平面局部微分同胚构成一个 7 维局部群，这是 3 参数平面曲线族对称群可能的最大维数。这些对称性与被广泛研究的开普勒问题的“隐藏”对称性不同，后者作用于开普勒系统 4 维相空间的能级上。每个具有固定非零能量的开普勒轨道 2 参数子族（长轴长度固定的开普勒椭圆或双曲线）以 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$ 作为其（局部）对称群，对应于 A. Tresse（1896）关于具有 3 维局部对称群的 2 参数平面曲线族分类中的一项。具有零能量（开普勒抛物线）或固定非零角动量的 2 参数子族是平坦的（局部微分同胚于直线族）。这些结果可使用 S. Lie 在 19 世纪发展的用于确定常微分方程“无穷小点对称”的技术证明，但我们的证明更为简洁，使用了开普勒轨道的射影几何模型（射影 3 空间中锥面的平面截线）。在此射影模型中，所有对称群均整体作用。射影模型的另一优势是开普勒平面与参数化开普勒轨道空间的闵可夫斯基 3 空间之间的对偶性。我们利用该对偶性推导了关于开普勒系统的若干新旧结果。