直线的第 $k$ 上色数

设 $S \subseteq \mathbb{R}^n$，且 $k\in\mathbb{N}$。Greenwell 和 Johnson 定义 ${\hat\chi\ }^{(k)}(S)$ 为最小的整数 $m$（如果存在这样的整数），使得对于每个 $k\times m$ 的正实数数组 $D=(d_{ij})$，$S$ 可以用颜色 $C_1,\ldots,C_m$ 进行着色，使得对于所有 $1\leq i \leq k$ 和 $1\leq j \leq m$，$S$ 中任何相距（欧几里得距离）为 $d_{ij}$ 的两个点不会同时被染成 $C_j$。如果不存在这样的整数，则称 ${\hat\chi\ }^{(k)}(S)=\infty$。在本文中，我们证明对于所有 $k$，${\hat\chi\ }^{(k)}(\mathbb{R})$ 是有限的。