最大范数拉姆齐理论

给定至少含两点的度量空间 $\mathcal{M}$，色数 $\chi\left(\mathbb{R}^n_{\infty}, \mathcal{M} \right)$ 定义为对具最大范数的 $n$ 维空间 $\mathbb{R}^n_{\infty}$ 的所有点着色所需的最少颜色数，使得 $\mathcal{M}$ 的任意等距拷贝均非单色。最近最后两位作者已证明对所有有限 $\mathcal{M}$，值 $\chi\left(\mathbb{R}^n_{\infty}, \mathcal{M} \right)$ 均指数增长。在本文中，我们改进该结果，给出精确值 $\chi_{\mathcal{M}}$，使得对所有“一维” $\mathcal{M}$ 及其若干笛卡尔积有 $\chi\left(\mathbb{R}^n_{\infty}, \mathcal{M} \right) = (\chi_{\mathcal{M}}+o(1))^n$。我们还对无限 $\mathcal{M}$ 研究此问题。特别地，我们构造了一个无限 $\mathcal{M}$，使得色数 $\chi\left(\mathbb{R}^n_{\infty}, \mathcal{M} \right)$ 随 $n \rightarrow \infty$ 趋于无穷。