拟阵上的着色博弈

若拟阵基集中同色元素构成一个独立集，则该着色是正常的。对于无环拟阵 $M$，其色数 $\chi (M)$ 定义为正常着色所需的最少颜色数。在本文中，我们研究该参数的一个博弈论变体。假设 Alice 和 Bob 轮流使用一组固定的颜色对拟阵 $M$ 的基集进行正常着色。当整个拟阵被着色完毕，或者到达一个无法进一步正常扩展的部分着色时，游戏结束。第一种情况 Alice 获胜，第二种情况 Bob 获胜。$M$ 的博弈色数记为 $\chi_{g}(M)$，定义为 Alice 拥有必胜策略所需的最小颜色集合大小。显然，$\chi_{g}(M)\geq\chi (M)$。我们证明了对于任意拟阵 $M$，有上界 $\chi_{g}(M)\leq 2\chi (M)$。这一结果改进并推广了 Bartnicki、Grytczuk 和 Kierstead 的结果，他们证明了对于图拟阵有 $\chi_{g}(M)\leq 3\chi (M)$。我们的界几乎是紧的，因为我们构造了一族拟阵 $M_k$（对于 $k\geq 3$），满足 $\chi (M_k)=k$ 且 $\chi_{g}(M_k)=2k-1$。