通过归约为划分拟阵的两个拟阵的列表着色

在两个拟阵的列表着色问题中，给定同一基集 $S$ 上的拟阵 $M_1=(S,{\cal I}_1)$ 和 $M_2=(S,{\cal I}_2)$，目标是确定最小的数 $k$，使得对 $s\in S$ 给定任意 $k$ 种颜色的列表 $L_s$ 时，都能从每个列表中选一种颜色，使得每个单色集在 $M_1$ 和 $M_2$ 中均独立。当两个拟阵均为划分拟阵时，Galvin 的二部图列表着色定理给出了答案。主要开放问题之一是判断是否存在常数 $c$，使得若着色数为 $k$（即基集可划分为 $k$ 个公共独立集），则列表着色数至多为 $c\cdot k$。我们考虑组合优化问题中自然出现的拟阵类，即图形拟阵、铺砌拟阵和伽马拟阵。我们证明，若两个拟阵均来自这些基本类，则列表着色数至多为着色数的两倍。证明基于一种新方法，该方法将拟阵归约为划分拟阵而不使其着色数增加过多，且可能具有独立的组合意义。特别地，我们证明若 $M=(S,{\cal I})$ 是一个可将其 $S$ 划分为 $k$ 个独立集的拟阵，则存在划分拟阵 $N=(S,{\cal J})$，满足 ${\cal J}\subseteq{\cal I}$，且 $S$ 可划分为 (A) $k$ 个独立集（若 $M$ 为横截拟阵），(B) $2k-1$ 个独立集（若 $M$ 为图形拟阵），(C) $\lceil kr/(r-1)\rceil$ 个独立集（若 $M$ 为秩 $r$ 的铺砌拟阵），以及 (D) $2k-2$ 个独立集（若 $M$ 为伽马拟阵）。我们通过证明：若存在满足 $\chi(N)\leq 2\chi(M)$ 的拟阵 $N$，则对 $M$ 的每个截断 $M'$ 均存在满足 $\chi(N')\leq 2\chi(M')$ 的拟阵 $N'$，推广了上述结果。