论抽象色数及其在有限公理化理论中的可计算性

著名的 Erdős–Stone–Simonovits 定理将 $\mathcal{F}$-自由图的渐近最大边密度刻画为 $1 - 1/(\chi(\mathcal{F})-1) + o(1)$，其中 $\chi(\mathcal{F})$ 是 $\mathcal{F}$ 中图的最小色数。在 [L. N. Coregliano and A. A. Razborov. Semantic limits of dense combinatorial objects. Uspekhi Mat. Nauk, 75(4(454)):45-152, 2020] 的例 25 和 31 中，已表明该结果可推广到带额外结构的图的一般情形：不含某些诱导子图的带额外结构图的最大渐近密度为 $1 - 1/(\chi(I) - 1) + o(1)$，其中 $\chi(I)$ 为适当定义的抽象色数。顾名思义，抽象色数的原始公式过于抽象，其（算法）可计算性此前悬而未决。在本文中，我们一方面将该结果推广到用 $\chi(I)$ 刻画不含某些诱导子图的带额外结构图中 $t$-团的最大渐近密度，另一方面给出了 $\chi(I)$ 的一个更具体的公式，使得在额外结构与禁戒子图均可由有限公理化的全称一阶理论描述时，可证明 $\chi(I)$ 的可计算性。我们对 $\chi(I)$ 的替代公式利用了基于一阶关系语言的结构的 Ramsey 定理的分部版本。