环面网格的关联色数

图$G$中的一个关联是一个对$(v,e)$，其中$v \in V(G)$且$e \in E(G)$，使得$v$与$e$相关联。两个关联$(v,e)$和$(w,f)$是相邻的，如果$v=w$，或$e=f$，或边$vw$等于$e$或$f$。$G$的关联色数是使得存在一个从$G$的关联集到$k$种颜色集的映射，且该映射为相邻关联分配不同颜色的最小$k$。在本文中，我们证明了环面网格$T_{m,n}=C_m\Box C_n$的关联色数在$m,n \equiv 0 \pmod 5$时等于5，否则等于6。