图的笛卡尔积与张量积的局部识别染色

对于正整数 $k$，图 $G$ 的正常 $k$-染色是一个映射 $f: V(G) \rightarrow \{1,2, \ldots, k\}$，使得对 $G$ 的每条边 $uv$ 有 $f(u) \neq f(v)$。使得 $G$ 存在正常 $k$-染色的最小整数 $k$ 称为 $G$ 的色数，记作 $\chi(G)$。图 $G$ 的局部识别染色（简称 lid-染色）是 $G$ 的一种正常 $k$-染色，使得每一对具有不同闭邻域的相邻顶点在其闭邻域中具有不同的颜色集合。使得 $G$ 具有使用 $k$ 种颜色的 lid-染色的最小整数 $k$ 称为 $G$ 的局部识别色数（简称 lid-色数），记作 $\chi_{lid}(G)$。本文研究两个图的笛卡尔积与张量积的 lid-染色。我们证明，若 $G$ 和 $H$ 是两个至少有两个顶点的连通图，则 (a) $\chi_{lid}(G \square H) \leq \chi(G) \chi(H)-1$ 且 (b) $\chi_{lid}(G \times H) \leq \chi(G) \chi(H)$。此处 $G \square H$ 和 $G \times H$ 分别表示 $G$ 与 $H$ 的笛卡尔积和张量积。我们确定了 $C_m \square P_n$、$C_m \square C_n$、$P_m \times P_n$、$C_m \times P_n$ 和 $C_m \times C_n$ 的 lid-色数，其中 $C_m$ 和 $P_n$ 分别表示具有 $m$ 和 $n$ 个顶点的圈和路。