关于图的字典积的指明染色

指明染色是一种图染色博弈，其中两名玩家以如下方式共同为图的顶点染色：每一轮中，第一名玩家（Ann）选择一个顶点，然后第二名玩家（Ben）使用固定的颜色集合对其进行恰当染色。Ann 的目标是完成整张图的恰当染色，而 Ben 试图阻止这一目标的实现。无论 Ben 采取何种策略，Ann 在图 $G$ 上赢得该博弈所需的最少颜色数称为 $G$ 的指明色数，记为 $\chi_i(G)$。本文证明了对于任意图 $G$ 和 $H$，当所有 $k\geq\mathrm{col}(G)\mathrm{col}(H)$ 时，$G[H]$ 是 $k$-指明可染色的。此外，我们证明了对于任意图 $G$ 以及某些满足 $\chi(H)=\chi_i(H)=\ell$ 的图类 $H$，$G[H]$ 是 $k$-指明可染色的当且仅当 $G[K_\ell]$ 是 $k$-指明可染色的。作为该结果的推论，我们证明了对于某些特定的图族 $G$ 和 $H$，对所有 $k\geq \chi(G[H])$，$G[H]$ 都是 $k$-指明可染色的。这构成了对 A. Grzesik 在 \cite{and} 中提出的其中一个问题的部分回答。另外，若 $G$ 是二部图或 $\{P_5,K_3\}$-自由图（或）$\{P_5,Paw\}$-自由图，且 $H$ 来自相同的图族，则我们证明了 $\chi_i(G[H])=\chi(G[H])$。